Mirley - Elektronika i Programowanie

Metody obliczania zawarte tutaj mogą być stosowane do obwodów prądu stałego a także po zastosowaniu notacji zespolonej w obwodach prądu przemiennego (wymuszenia sinusoidalne). Dla obwodów prądu przemiennego wszystkie rezystancje zastępujemy impedancjami.

1. Prawa Kirchhoffa

Metoda polega na stworzeniu układu równań liniowych przez zapisanie zależności dla węzłów i oczek w obwodzie korzystając z pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa. Metoda jest skuteczna dla prostych obwodów składających się z kilku oczek. W większych układach kłopotliwe jest rozwiązywanie powstałego układu równań.

Kolejność postępowania:

a) Znajdujemy wszystkie $n$ węzłów w obwodzie

b) Zapisujemy $n-1$ równań prądowych (I Prawo Kirchhoffa) dla wybranych węzłów

c) Zależnie od ilości niewiadomych prądów zapisujemy wymaganą ilość równań korzystając z II Prawa Kirchhoffa.

d) Rozwiązujemy otrzymany układ równań

Przykład:

W powyższym obwodzie celem zadania jest wyznaczenie wszystkich niewiadomych prądów: $I_1$, $I_2$ oraz $I_3$.

Najpierw zapisujemy równanie prądowe dla węzła na "górze":

$$I_1 - I_3 + I -I_2 = 0$$

W drugiej kolejności wybieramy dwa możliwie najmniejsze oczka. Na rysunku zaznaczono je kolorem zielonym i czerwonym. Wybór ten podyktowany jest faktem iż na źródle prądowym nie możemy określić spadku napięcia, a zatem nie możemy zapisać II Prawa Kirchhoffa dla oczka zawierającego źródło prądowe. Zapisujemy równania napięciowe:

$$E - U_1 - U_2 = 0$$ $$U_2 - U_3 = 0$$

Korzystając z Prawa Ohma mamy:

$$E - I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_2 = 0$$ $$I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3 = 0$$

Tworzymy układ równań:

$$
\matrix {
E - I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_2 = 0 \cr
I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3 = 0 \cr
I_1 - I_3 + I -I_2 = 0 \cr
}

$$

Rozwiązujemy powyższy układ uzyskując szukane prądy.

2. Prądy Oczkowe

Metoda polega na stworzeniu równania macierzowego $\ R \cdot I = U \ $, gdzie $\ R \ $ jest macierzą rezystancji, $\ I \ $ wektorem nieznanych prądów a $\ U \ $ jest wektorem wymuszeń napięciowych.

Kolejność postępowania:

a) Wszystkie źródła prądowe w obwodzie zamieniamy na napięciowe (Korzystając z Twierdzenia Thevenina). Przykład przedstawia poniższy rysunek:

b) Znajdujemy wszystkie oczka w obwodzie (nie zachodzące na siebie) i zaznaczamy płynące w nich prądy oczkowe $\ I_I \ $ , $\ I_{II} \ $, $\ I_{III} \ $ , ...

c) Tworzymy macierz rezystancji $\ R \ $ w której elementy $\ R_{11} \ $, $\ R_{22} \ $, $\ R_{33} \ $, ... ,$\ R_{nn} \ $ stanowią sumy rezystancji tworzących kolejne oczka, a elementy $\ R_{12} = R_{21} \ $, $\ R_{13} = R_{31} \ $, $\ R_{23} = R_{32} \ $, ... , $\ R_{kl} = R_{lk} \ $ stanowią rezystancje wzajemne (wspólne) odpowiednio dla oczek: pierwszego z drugim, pierwszego z trzecim itd. Jeżeli w danych dwóch oczkach zaznaczone prądy oczkowe płyną przeciwnie przez rezystancję wzajemną to element macierzy odpowiadający rezystancji wspólnej tych oczek bierzemy ze znakiem "-". Jeżeli oczka ze sobą nie sąsiadują to rezystancja wzajemna jest równa 0.

d) Zapisujemy wektor wymuszeń napięciowych którego kolejne elementy $\ U_1 \ $, $\ U_2 \ $, ... , $\ U_n \ $, stanowią sumę sił elektromotorycznych w kolejnych oczkach. Źródła napięcia wchodzą do sumy ze znakiem "+" jeśli mają kierunek zgodny z prądem oczkowym lub "-" jeśli mają kierunek przeciwny.

e) Rozwiązujemy równanie macierzowe i uzyskujemy wektor szukanych prądów oczkowych.

f) Obliczamy prądy gałęziowe. Jeżeli w gałęzi płynie tylko jeden prąd oczkowy to prąd gałęziowy jest mu równy w przeciwnym wypadku prąd gałęziowy jest sumą lub różnicą (zależy od zgodności kierunków) prądów oczkowych w tej gałęzi.

Przykład:

Na rysunku powyżej przedstawiono przykład obwodu oraz obwód z przekształconymi źródłami prądowymi na napięciowe. Tworzymy równanie macierzowe dla tego obwodu:

$$
\left [ \matrix {
R_1 + R_2 & -R_2 \cr
-R_2 & R_2 + R_L \cr
} \right ]
\ \cdot \
\left [ \matrix {
I_I \cr
I_{II} \cr
} \right ]
\ = \
\left [ \matrix {
E - I \cdot R_2\cr
I \cdot R_2 \cr
} \right ]
$$

Wyliczamy prądy oczkowe:

$$I_I = \frac{(E - I \cdot R_2) \cdot (R_2 +R_L) + I \cdot R_2^2}{(R_1+R_2) \cdot (R_2 +R_L) - R_2^2}
= \frac{(E - I \cdot R_2) \cdot (R_2 +R_L) + I \cdot R_2^2}{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_L + R_2 \cdot R_L}$$

$$I_{II} = \frac{I \cdot R_2 \cdot (R_1 +R_2) + (E - I \cdot R_2) \cdot R_2}{(R_1+R_2) \cdot (R_2 +R_L) - R_2^2}
= \frac{I \cdot R_2 \cdot (R_1 +R_2) + (E - I \cdot R_2) \cdot R_2}{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_L + R_2 \cdot R_L}$$

Prądy gałęziowe są równe:

$$I_1 = I_I $$

$$I_2 =I_{II} - I_I $$

$$I_L = I_{II} $$

3. Potencjały Węzłowe

Metoda polega na stworzeniu równania macierzowego $\ G \cdot U = I \ $, gdzie $\ G \ $ jest macierzą konduktancji, $\ U \ $ wektorem nieznanych potencjałów a $\ I \ $ jest wektorem wymuszeń prądowych.

Kolejność postępowania:

a) Wszystkie źródła napięciowe w obwodzie zamieniamy na prądowe (Korzystając z Twierdzenia Nortona). Przykład przedstawia poniższy rysunek:

b) Znajdujemy wszystkie węzły w obwodzie oznaczamy je $\ V_1 \ $, $\ V_2 \ $, ... , $\ V_n \ $. Jeden węzeł uziemiamy przypisując mu potencjał równy 0.

c) Tworzymy macierz konduktancji $\ G \ $ w której elementy $\ G_{11} \ $, $\ G_{22} \ $, $\ G_{33} \ $, ... ,$\ G_{nn} \ $ stanowią sumy konduktancji podłączonych do kolejnych węzłów, a elementy $\ G_{12} = G_{21} \ $, $\ G_{13} = G_{31} \ $, $\ G_{23} = G_{32} \ $, ... , $\ G_{kl} = G_{lk} \ $ stanowią konduktancje wzajemne (między węzłami) odpowiednio dla węzłów: pierwszego z drugim, pierwszego z trzecim itd. Konduktancje wzajemne bierzemy zawsze ze znakiem "-". Jeżeli węzły nie są ze sobą bezpośrednio połączone żadną konduktancją to ich konduktancja wzajemna jest równa 0.

d) Zapisujemy wektor wymuszeń prądowych którego kolejne elementy $\ I_1 \ $, $\ I_2 \ $, ... , $\ I_n \ $, stanowią sumę prądów (pochodzących od źródeł) wpływających i wypływających do/z kolejnych węzłów. Źródła których prąd wpływa do węzła są brane ze znakiem "+" a te dzięki którym prąd wypływa z węzła brane są ze znakiem "-".

e) Rozwiązujemy równanie macierzowe i uzyskujemy wektor szukanych potencjałów węzłowych.

f) Obliczamy napięcia w gałęziach obwodu jako różnice potencjałów między interesującymi nas węzłami.

Przykład:

Na rysunku powyżej przedstawiono przykład obwodu oraz obwód z przekształconymi źródłami napięciowymi na prądowe. Tworzymy równanie macierzowe dla tego obwodu:

$$
\left [ \matrix {
\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_L}
} \right ]
\ \cdot \
\left [ \matrix {
V_A
} \right ]
\ = \
\left [ \matrix {
\frac{E}{R_1} + I
} \right ]
$$

Wyliczamy potencjał węzłowy:

$$V_A = \frac{\frac{E}{R_1} + I}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_L}}$$

Obliczamy spadki napięć na elementach:

$$U_{R_L} = U_{R_1} = U_{R_2} = V_A - 0 = V_A$$